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\chapter{系统的稳定性}

对于受控系统来说稳定性是至关重要的。因为不稳定的系统显然不能达到控制目标。

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{../../notes/images/wirewalking.jpg}
\caption{走钢丝的人}
\label{fig5-1}
\end{figure}

在讨论系统的响应特性之前，我们需要首先保证系统是稳定的，否则其他特性就无从谈起。

对于线性系统，我们前面建立的传递函数模型是一种输入输出模型，关心的是输入输出信号的特性。对于这样的模型，我们可以提出输入有界输出有界（BIBO）稳定性的概念。

\begin{mydef}{输入有界输出有界（BIBO）稳定}{}

稳定系统在任意有界输入的作用下，输出也是有界的。

\end{mydef}

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{../../notes/images/bibo.png}
\caption{BIBO稳定性}
\label{fig5-2}
\end{figure}

\begin{example}

假设我们设计了一个系统
$$
G(s)=\frac{1}{(s+1)(s-1)}
$$
它是否稳定呢？

\soln

我们可以给定一个有界的输入信号，比如单位阶跃，即$r(t)=1$，然后查看它的输出响应。

系统频域输出为

$$
\begin{align*}
Y(S)=G(s)R(S)&=\frac{1}{(s+1)(s-1)}\frac{1}{s} \\
&=\frac{-1}{s}+\frac{0.5}{s+1}+\frac{0.5}{s-1}
\end{align*}
$$

可计算系统的时域输出为

$$
y(t)=-1+0.5e^{-t}+0.5e^t
$$

可见，由于$e^t$的存在系统在阶跃输入下输出信号随着时间变为无穷大。系统是不稳定的。

\end{example}

\section{极点构型和时间响应的有界性}

从前面的例子可以看出，输出信号的响应特性是其极点构型对应的响应特性的叠加，因此稳定性与信号极点直接相关。下面我们考察一下不同的极点构型对应的响应特性。

输出信号的一般方程

可能包含的极点情况

- 实极点

- 复极点

- 重极点


（1）输出信号的极点为实极点的情况

$$
\frac{1}{s+a}
$$
当$a>0$时，极点处于s左半平面；$s=0$时，极点在虚轴上；$a<0$时，极点处于s右半平面。
对应的信号响应为

$$
e^{-at}
$$

极点在左半平面时的极点构型如左图，对应的输出响应如右图，信号逐渐收敛到0。


\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=4cm]{../../notes/images/realpole1.png}
\caption{实极点在s左半平面}
\label{fig5-3}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=4cm]{../../notes/images/realpole-output1.png}
\caption{实极点在s左半平面的输出响应}
\label{fig5-4}
\end{minipage}
\end{figure}


极点在虚轴上时的极点构型如左图，对应的输出响应如右图，信号保持恒定。

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=4cm]{../../notes/images/realpole2.png}
\caption{实极点在虚轴上}
\label{fig5-5}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=4cm]{../../notes/images/realpole-output2.png}
\caption{实极点在虚轴上的输出响应}
\label{fig5-6}
\end{minipage}
\end{figure}

极点在右半平面时的极点构型如左图，对应的输出响应如右图，信号发散到无穷大。

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=4cm]{../../notes/images/realpole3.png}
\caption{实极点在s右半平面}
\label{fig5-7}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=4cm]{../../notes/images/realpole-output3.png}
\caption{实极点在s右半平面的输出响应}
\label{fig5-8}
\end{minipage}
\end{figure}

我们关心的是信号的有界性。从前面的信号响应图可以看到，当极点位于s左半平面时，信号衰减，有界；当极点位于虚轴上时，信号保持不变，有界；当极点位于s右半平面时，信号发散，无界。

（2）输出信号的极点为复极点的情况

$$
\frac{w_n^2}{s^2+2\zeta w_n+w_n^2}
$$

当$ \zeta >0 $时，极点处于s左半平面；$ \zeta =0$时，极点在虚轴上；$ \zeta <0$时，极点处于s右半平面。
对应的信号响应为

$$
e^{-at}sin(wt)
$$

极点在左半平面时的极点构型如左图，对应的输出响应如右图，信号震荡收敛到0。

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=4cm]{../../notes/images/complexpole1.png}
\caption{复极点在s左半平面}
\label{fig5-9}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=4cm]{../../notes/images/complexpole-output1.png}
\caption{复极点在s左半平面的输出响应}
\label{fig5-10}
\end{minipage}
\end{figure}

极点在虚轴上时的极点构型如左图，对应的输出响应如右图，信号等幅震荡。

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=4cm]{../../notes/images/complexpole2.png}
\caption{复极点在虚轴上}
\label{fig5-11}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=4cm]{../../notes/images/complexpole-output2.png}
\caption{复极点在虚轴上的输出响应}
\label{fig5-12}
\end{minipage}
\end{figure}

极点在右半平面时的极点构型如左图，对应的输出响应如右图，信号震荡发散到无穷大。

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=4cm]{../../notes/images/complexpole3.png}
\caption{复极点在s右半平面}
\label{fig5-13}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=4cm]{../../notes/images/complexpole-output3.png}
\caption{复极点在s右半平面的输出响应}
\label{fig5-14}
\end{minipage}
\end{figure}

（3）系统极点为重极点的情况

当虚轴上的实极点有重根时，也就是包含

$$
\frac{1}{s^2}
$$

时，信号响应线性增大。

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=4cm]{../../notes/images/stability/coin-realpole.png}
\caption{实极点重根}
\label{fig5-15}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=4cm]{../../notes/images/stability/coin-realpole-respond.png}
\caption{实极点重根的输出响应}
\label{fig5-16}
\end{minipage}
\end{figure}

当虚轴上的复极点有重根时，也就是包含

$$
\frac{1}{(s^2+w^2)^2}
$$

时，信号响应线性震荡发散。

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=4cm]{../../notes/images/stability/coin-complexpole.png}
\caption{复极点重根}
\label{fig5-17}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=4cm]{../../notes/images/stability/coin-complexpole-respond.png}
\caption{复极点重根的输出响应}
\label{fig5-18}
\end{minipage}
\end{figure}

综上，当输出信号的所有极点都位于s左半平面或者虚轴上，同时虚轴上的极点为单重极点时，输出信号有界

而下面两种情况下，系统输出无界：

\begin{itemize}
	\item 输出信号至少有一个极点位于s平面的右半平面。
	\item 位于s平面虚轴上的极点至少有一个为高阶极点。
\end{itemize}


\section{稳定、临界稳定和不稳定}

由于输出信号是输入信号经系统传递函数变换后确定的

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{../../notes/images/stability/input-output.png}
\caption{输入、系统和输出}
\label{fig5-19}
\end{figure}

输出信号的构型由输入信号和系统的构型共同决定，即

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{../../notes/images/stability/input2output.png}
\caption{输入、系统和输出的构型}
\label{fig5-20}
\end{figure}

根据BIBO的定义，我们希望输出信号的时间响应有界。而有界的输入构型可能是虚轴上的实极点（阶跃信号），或虚轴上的两个复极点（周期震荡信号）。因此，系统构型必须保证所有的极点处于s左半平面，才是BIBO稳定的。

这样，对于系统我们可以区分“稳定、临界稳定和不稳定”三种情况：

\begin{mydef}{稳定}{}

系统的所有极点都处于s左半平面，我们称该系统为稳定的。

\end{mydef}

\begin{mydef}{临界稳定}{}

系统存在虚轴上的极点，同时其他极点都处于s左半平面时，我们称该系统是临界稳定的。

\end{mydef}

由于临界稳定的系统包含虚轴上的极点，当输入信号也存在虚轴上的极点时，输出信号中会出现虚轴上的重极点。
这是一种共振现象，会引起输出信号发散，系统不能保持稳定。

一个典型的例子是大桥。。。

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{../../notes/images/bridge-normal.png}
\caption{大桥静止时是稳定的}
\label{fig5-23}
\end{figure}

当风吹过大桥，引发共振，随着大桥震荡越来越剧烈，最终垮塌。

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{../../notes/images/bridge-collapse.png}
\caption{大桥静止时是稳定的}
\label{fig5-24}
\end{figure}

因此，严格意义上，临界稳定也是一种不稳定。

\begin{mydef}{不稳定}{}

系统有极点位于s右半平面，或者位于s平面虚轴上的极点至少有一个为高阶极点时，我们称该系统是不稳定的。

\end{mydef}

\section{特征方程系数与系统稳定性的关系}


通过求解系统的特征方程，得到系统的极点，就能判断系统的稳定性。

$$
G(s)=\frac{b_ms^m+...+b_1s+b_0}{a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1s+a_0}
$$

然而，要求系统的极点就要解特征方程，而高阶代数方程的求解是非常困难的。

$$
q(s)=a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1s+a_0=0
$$

例如

$$
q(s)=s^4+9.5s^3+30.5s^2+37s+12=0
$$

是否稳定？

或者我们需要确定控制器的系数K，首先需要知道该系数在什么情况下能保证系统稳定。

$$
q(s)=s^3+2s^2+4s+K=0
$$

能否不求解系统特征，就对系统的稳定性进行判断呢？答案是肯定的。
我们可以通过考察系统特征方程的参数来判断系统的极点构型，从而判断系统的稳定性。

当系统是稳定的，也就是系统特征方程的根（极点）都在s左半平面，特征方程的系数有什么特点呢？

（1）一阶系统的情况

一阶系统的特征方程为

$$
q(s)=a_1s+a_0=0
$$

计算可得

$$
s=-\frac{a_0}{a_1}
$$

若要求$s<0$，则要求两个系统具有相同的符号。

例子：。。。



（2）二阶系统的情况

二阶系统的特征方程为

$$
q(s)=a_2s^2+a_1s+a_0=0
$$

它的解为

$$
s_{1,2}=\frac{-a_1 \pm \sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2}
$$

当两个根的实部都在s左半平面上时，

$$
-a_1+\sqrt{a_1^2-4a_2a_0}<0
$$

所以$a_0$与$a_2$符号相同。

另外，两个根的符号与$-a_1/a_2$相同，所以$a_1$和$a_2$具有相同的符号。

例子：。。。


（3）三阶系统的情况

三阶系统的特征方程可以转换为一阶方程和二阶方程的组合

$$
q(s)=c_3s^3+c_2s^2+c_1s+c_0 \\
=(a_1s+a_0)(b_2s^2+b_1s+b_0)=0
$$

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{../../notes/images/stability/parameters-third.png}
\caption{三阶系统参数}
\label{fig5-25}
\end{figure}

一阶系统和二阶系统的系数都具有相同的符号（大于零）时，三阶系统的系数也都具有相同的符号。


（4）高阶系统

四阶系统可以分解为两个一阶系统和一个二阶系统，或者两个二阶系统，同样要求所有的系数具有相同的符号。

五阶系统、六阶系统同样。



综上，系统稳定（特征方程的根都位于s左半平面）的必要条件为：特征方程的系数都具有相同的符号。
需要注意的是，特征方程的系数具有相同的符号是系统稳定的必要条件，并非充分条件。
因此，我们可以根据系统特征多项式进行系统稳定性的初步判断。

\begin{example}
系统特征多项式为

$$
q(s)=s^2-s+4=0
$$

则系统是否稳定？

\soln

由于特征多项式中系数的符号不同，因此系统不稳定。

\end{example}

\begin{example}

系统特征多项式为

$$
q(s)=s^3+s^2+2s+8
$$

系统是否稳定？

\soln

特征多项式的系数符号相同。然而，系统的特征多项式可分解为

$$
\begin{align}
q(s)&=(s+2)(s^2-s+4) \\
&=s^3+s^2+2s+8
\end{align}
$$

由于该三阶系统的响应由稳定的一阶系统的响应和不稳定的二阶系统的响应共同构成，因此系统是不稳定的。

\end{example}

\section{Routh-Hurwitz稳定性判据}

前面我们根据系统特征多项式，可以进行系统稳定性的初步判断。
本节介绍Routh-Hurwitz稳定判据。

q(s)正实部根的数目与Routh判据表首列中符号变化次数相等。因此，当我们通过初判，特征方程的系数具有相同的符号时，可以进一步通过Routh判据了解极点系统极点分布情况，来确定系统的稳定性。

Routh判据的核心是构建Routh判据表

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=5cm]{../../notes/images/routh1.png}
\caption{Routh判据表}
\label{fig5-26}
\end{figure}

其中，判据表的前两行直接由特征多项式系数构成。其它行按照计算规律在前两行的基础上计算得到。

（1） $b_{n-1}$的计算

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=5cm]{../../notes/images/b-1.png}
\caption{$b_{n-1}$的计算}
\label{fig5-27}
\end{figure}

计算方法为

$$
b_{n-1}=\frac{-1}{a_{n-1}}
\left|
\begin{matrix}
a_n \ a_{n-2} \\
a_{n-1} \ a_{n-3}
\end{matrix}
\right| \\
=\frac{a_{n-1}a_{n-2}-a_{n}a_{n-3}}{a_{n-1}}
$$

（2）$b_{n-3}$的计算

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=5cm]{../../notes/images/b-3.png}
\caption{$b_{n-3}$的计算}
\label{fig5-28}
\end{figure}

计算方法为

$$
b_{n-3}=\frac{-1}{a_{n-1}}
\left|
\begin{matrix}
a_n \ a_{n-4} \\
a_{n-1} \ a_{n-5}
\end{matrix}
\right|
$$

（3）$b_{n-5}$的计算

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=5cm]{../../notes/images/b-5.png}
\caption{$b_{n-5}$的计算}
\label{fig5-29}
\end{figure}

当Routh判据表中不存在计算对应的元素时，补零。
计算方法为

$$
b_{n-5}=\frac{-1}{a_{n-1}}
\left|
\begin{matrix}
a_n \ 0 \\
a_{n-1} \ 0
\end{matrix}
\right| = 0
$$

（4）其他行的计算

其他行的计算规律与$b$行相同，只不过仅涉及该行的前两行。

例如$c_{n-1}$的计算

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=5cm]{../../notes/images/stability/c-1.png}
\caption{$c_{n-1}$的计算}
\label{fig5-30}
\end{figure}

计算方法为

$$
c_{n-1}=\frac{-1}{b_{n-1}}
\left|
\begin{matrix}
a_{n-1} \ a_{n-3} \\
b_{n-1} \ b_{n-3}
\end{matrix}
\right| = 0
$$

计算完成后，我们通过查看Routh判据表的首列元素就可以判读系统的极点配置情况。
在使用Routh判据表进行稳定性判断时，需要区分三种情形：
\begin{itemize}
	\item 首列中没有元素为零。
	\item 首列中有一个元素为零，但零元素所在行中存在非零元素。
	\item 首列中有一个元素为零，且零元素所在的行中，其他元素均为零.
\end{itemize}

(1)情形1. 首列中没有元素为零


\begin{example}

求二阶系统
$$
q(s)=a_2s^2+a_1s+a_0
$$
稳定的充分必要条件

\soln

首先构造Routh表

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=5cm]{../../notes/images/stability/routh-second.png}
\caption{二阶系统的Routh表}
\label{fig5-31}
\end{figure}

从Routh表可以直接得到结论：二阶系统稳定的充分必要条件是$a_2,a_1,a_0$具有相同的符号。

\end{example}


\begin{example}

求三阶系统

$$
q(s)=a_3s^3+a_2s^2+a_1s+a_0
$$

稳定的充分必要条件。

\soln

同样首先构造Routh表

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=5cm]{../../notes/images/stability/routh-third.png}
\caption{三阶系统的Routh表}
\label{fig5-32}
\end{figure}

其中Routh表的前两行是特征多项式的系数。我们要求的是$b_1$

$$
b_1=\frac{-\left|\begin{array}{cccc} 
    a_3 &    a_1 \\ 
    a_2 &    a_0 \\  
\end{array}\right| }{a_2}
=\frac{a_2a_1-a_3a_0}{a_2}
$$

根据Routh表直接判断：对于所有系数大于0的三阶系统，系统稳定的充分必要条件是$a_2a_1>a_3a_0$


\end{example}

（2）情形2. 首列中有1个元素为零，但零元素所在行中存在非零元素

\begin{example}

一个系统的特征方程如下

$$
q(s)=s^5+2s^4+2s^3+4s^2+11s+10
$$

判断系统的稳定性。

\soln

计算Routh表

$$
b_3=\frac{-\left|\begin{array}{cccc} 
    1 &    2 \\ 
    2 &    4 \\  
\end{array}\right| }{2}
=0
$$

$$
b_1=\frac{-\left|\begin{array}{cccc} 
    1 &    11 \\ 
    2 &    10 \\  
\end{array}\right| }{2}
=6
$$

Routh表的第一列第三行出现了0元素，而该行第二列的元素不为零。

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=5cm]{../../notes/images/stability/routh-example1.png}
\caption{Routh表首列出现零元素，且其他元素不为零}
\label{fig5-33}
\end{figure}

在这种情况下，我们可以用一个无穷小正数$\varepsilon$代替0，继续Routh表的计算。

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=5cm]{../../notes/images/stability/routh-example2.png}
\caption{Routh表使用$\varepsilon$计算第四行}
\label{fig5-34}
\end{figure}

$$
c_2=\frac{-\left|\begin{array}{cccc} 
    2 &    4 \\ 
    \varepsilon &    6 \\  
\end{array}\right| }{\varepsilon}
=-\frac{12}{\varepsilon}
$$

$$
c_0=\frac{-\left|\begin{array}{cccc} 
    2 &    10 \\ 
    \varepsilon &    0 \\  
\end{array}\right| }{\varepsilon}
=10
$$

完成第四行的计算后，再计算第五行。

$$
d_1=\frac{-\left|\begin{array}{cccc} 
    \varepsilon &    6 \\ 
    -\frac{12}{\varepsilon} &    10 \\  
\end{array}\right| }{-\frac{12}{\varepsilon}}
=6
$$

最后，再根据完成的Routh表对系统的稳定性进行判断。

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=5cm]{../../notes/images/stability/routh-example3.png}
\caption{Routh表使用$\varepsilon$计算第五行}
\label{fig5-35}
\end{figure}

基于$\varepsilon$是无穷小正数，应用Routh判据，首列的符号变化两次，意味着有两个根在s右半平面，系统是不稳定的。

\end{example}

（3）情形3. 首列中有零元素，且零元素所在行中其他元素均为零




